# Encyclopedia of Crystallographic Prototypes

M. J. Mehl, D. Hicks, C. Toher, O. Levy, R. M. Hanson, G. L. W. Hart, and S. Curtarolo, The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 1, Comp. Mat. Sci. 136, S1-S828 (2017). (doi=10.1016/j.commatsci.2017.01.017)
D. Hicks, M. J. Mehl, E. Gossett, C. Toher, O. Levy, R. M. Hanson, G. L. W. Hart, and S. Curtarolo, The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 2, Comp. Mat. Sci. 161, S1-S1011 (2019). (doi=10.1016/j.commatsci.2018.10.043)

## Space Group Notation

This table lists the space group notations used throughout the Encyclopedia.

In general, we use the first space group orientation listed. There are two exceptions:
• For centrosymmetric space groups, e.g. #227, there are two settings, reflecting a choice of origin. We always take the second setting, which places the origin of the real-space coordinate system at an inversion site.
• For rhombohedral unit cells we always use the label for the full hexagonal unit cell (H) rather than the primitive rhombohedral cell (R), which follows are choice to describe the unit cell in terms of the hexagonal lattice parameters $a$ and $c$, rather than the rhombohedral lattice parameters $a$ and $\alpha$.
The following notations are used
• Hermann-Mauguin: (Hermann, 1928) and ( Mauguin, 1931)
• Hall: (Hall, 1981)
• “International”: a compact form of the Hermann-Mauguin notation used in the International Tables of Crystallography (Brock, 2016)
• Schoenflies: (Shoenflies, 1891) and (Shoenflies, 1923)
Complete listings of all space group orientations can be found at
Number Orientation Hermann-Mauguin Hall International Schoenflies
1 P 1 P 1 $P1$ $C_{1}^{1}$
2 P -1 -P 1 $P\overline{1}$ $C_{i}^{1}$
3 b P 1 2 1 P 2y $P2$ $C_{2}^{1}$
4 b P 1 21 1 P 2yb $P2_{1}$ $C_{2}^{2}$
5 b1 C 1 2 1 C 2y $C2$ $C_{2}^{3}$
6 b P 1 m 1 P -2y $Pm$ $C_{s}^{1}$
7 b1 P 1 c 1 P -2yc $Pc$ $C_{s}^{2}$
8 b1 C 1 m 1 C -2y $Cm$ $C_{s}^{3}$
9 b1 C 1 c 1 C -2yc $Cc$ $C_{s}^{4}$
10 b P 1 2/m 1 -P 2y $P2/m$ $C_{2h}^{1}$
11 b P 1 21/m 1 -P 2yb $P2_{1}/m$ $C_{2h}^{2}$
12 b1 C 1 2/m 1 -C 2y $C2/m$ $C_{2h}^{3}$
13 b1 P 1 2/c 1 -P 2yc $P2/c$ $C_{2h}^{4}$
14 b1 P 1 21/c 1 -P 2ybc $P2_{1}/c$ $C_{2h}^{5}$
15 b1 C 1 2/c 1 -C 2yc $C2/c$ $C_{2h}^{6}$
16 P 2 2 2 P 2 2 $P222$ $D_{2}^{1}$
17 P 2 2 21 P 2c 2 $P222_{1}$ $D_{2}^{2}$
18 P 21 21 2 P 2 2ab $P2_{1}2_{1}2$ $D_{2}^{3}$
19 P 21 21 21 P 2ac 2ab $P2_{1}2_{1}2_{1}$ $D_{2}^{4}$
20 C 2 2 21 C 2c 2 $C222_{1}$ $D_{2}^{5}$
21 C 2 2 2 C 2 2 $C222$ $D_{2}^{6}$
22 F 2 2 2 F 2 2 $F222$ $D_{2}^{7}$
23 I 2 2 2 I 2 2 $I222$ $D_{2}^{8}$
24 I 21 21 21 I 2b 2c $I2_{1}2_{1}2_{1}$ $D_{2}^{9}$
25 P m m 2 P 2 -2 $Pmm2$ $C_{2v}^{1}$
26 P m c 21 P 2c -2 $Pmc2_{1}$ $C_{2v}^{2}$
27 P c c 2 P 2 -2c $Pcc2$ $C_{2v}^{3}$
28 P m a 2 P 2 -2a $Pma2$ $C_{2v}^{4}$
29 P c a 21 P 2c -2ac $Pca2_{1}$ $C_{2v}^{5}$
30 P n c 2 P 2 -2bc $Pnc2$ $C_{2v}^{6}$
31 P m n 21 P 2ac -2 $Pmn2_{1}$ $C_{2v}^{7}$
32 P b a 2 P 2 -2ab $Pba2$ $C_{2v}^{8}$
33 P n a 21 P 2c -2n $Pna2_{1}$ $C_{2v}^{9}$
34 P n n 2 P 2 -2n $Pnn2$ $C_{2v}^{10}$
35 C m m 2 C 2 -2 $Cmm2$ $C_{2v}^{11}$
36 C m c 21 C 2c -2 $Cmc2_{1}$ $C_{2v}^{12}$
37 C c c 2 C 2 -2c $Ccc2$ $C_{2v}^{13}$
38 A m m 2 A 2 -2 $Amm2$ $C_{2v}^{14}$
39 A b m 2 A 2 -2c $Aem2$ $C_{2v}^{15}$
40 A m a 2 A 2 -2a $Ama2$ $C_{2v}^{16}$
41 A b a 2 A 2 -2ac $Aea2$ $C_{2v}^{17}$
42 F m m 2 F 2 -2 $Fmm2$ $C_{2v}^{18}$
43 F d d 2 F 2 -2d $Fdd2$ $C_{2v}^{19}$
44 I m m 2 I 2 -2 $Imm2$ $C_{2v}^{20}$
45 I b a 2 I 2 -2c $Iba2$ $C_{2v}^{21}$
46 I m a 2 I 2 -2a $Ima2$ $C_{2v}^{22}$
47 P 2/m 2/m 2/m -P 2 2 $Pmmm$ $D_{2h}^{1}$
48 2 P 2/n 2/n 2/n:2 -P 2ab 2bc $Pnnn$ $D_{2h}^{2}$
49 P 2/c 2/c 2/m -P 2 2c $Pccm$ $D_{2h}^{3}$
50 2 P 2/b 2/a 2/n:2 -P 2ab 2b $Pban$ $D_{2h}^{4}$
51 P 21/m 2/m 2/a -P 2a 2a $Pmma$ $D_{2h}^{5}$
52 P 2/n 21/n 2/a -P 2a 2bc $Pnna$ $D_{2h}^{6}$
53 P 2/m 2/n 21/a -P 2ac 2 $Pmna$ $D_{2h}^{7}$
54 P 21/c 2/c 2/a -P 2a 2ac $Pcca$ $D_{2h}^{8}$
55 P 21/b 21/a 2/m -P 2 2ab $Pbam$ $D_{2h}^{9}$
56 P 21/c 21/c 2/n -P 2ab 2ac $Pccn$ $D_{2h}^{10}$
57 P 2/b 21/c 21/m -P 2c 2b $Pbcm$ $D_{2h}^{11}$
58 P 21/n 21/n 2/m -P 2 2n $Pnnm$ $D_{2h}^{12}$
59 2 P 21/m 21/m 2/n:2 -P 2ab 2a $Pmmn$ $D_{2h}^{13}$
60 P 21/b 2/c 21/n -P 2n 2ab $Pbcn$ $D_{2h}^{14}$
61 P 21/b 21/c 21/a -P 2ac 2ab $Pbca$ $D_{2h}^{15}$
62 P 21/n 21/m 21/a -P 2ac 2n $Pnma$ $D_{2h}^{16}$
63 C 2/m 2/c 21/m -C 2c 2 $Cmcm$ $D_{2h}^{17}$
64 C 2/m 2/c 21/a -C 2bc 2 $Cmca$ $D_{2h}^{18}$
65 C 2/m 2/m 2/m -C 2 2 $Cmmm$ $D_{2h}^{19}$
66 C 2/c 2/c 2/m -C 2 2c $Cccm$ $D_{2h}^{20}$
67 C 2/m 2/m 2/a -C 2b 2 $Cmma$ $D_{2h}^{21}$
68 2 C 2/c 2/c 2/a:2 -C 2b 2bc $Ccca$ $D_{2h}^{22}$
69 F 2/m 2/m 2/m -F 2 2 $Fmmm$ $D_{2h}^{23}$
70 2 F 2/d 2/d 2/d:2 -F 2uv 2vw $Fddd$ $D_{2h}^{24}$
71 I 2/m 2/m 2/m -I 2 2 $Immm$ $D_{2h}^{25}$
72 I 2/b 2/a 2/m -I 2 2c $Ibam$ $D_{2h}^{26}$
73 I 2/b 2/c 2/a -I 2b 2c $Ibca$ $D_{2h}^{27}$
74 I 2/m 2/m 2/a -I 2b 2 $Imma$ $D_{2h}^{28}$
75 P 4 P 4 $P4$ $C_{4}^{1}$
76 P 41 P 4w $P4_{1}$ $C_{4}^{2}$
77 P 42 P 4c $P4_{2}$ $C_{4}^{3}$
78 P 43 P 4cw $P4_{3}$ $C_{4}^{4}$
79 I 4 I 4 $I4$ $C_{4}^{5}$
80 I 41 I 4bw $I4_{1}$ $C_{4}^{6}$
81 P -4 P -4 $P\overline{4}$ $S_{4}^{1}$
82 I -4 I -4 $I\overline{4}$ $S_{4}^{2}$
83 P 4/m -P 4 $P4/m$ $C_{4h}^{1}$
84 P 42/m -P 4c $P4_{2}/m$ $C_{4h}^{2}$
85 2 P 4/n:2 -P 4a $P4/n$ $C_{4h}^{3}$
86 2 P 42/n:2 -P 4bc $P4_{2}/n$ $C_{4h}^{4}$
87 I 4/m -I 4 $I4/m$ $C_{4h}^{5}$
88 2 I 41/a:2 -I 4ad $I4_{1}/a$ $C_{4h}^{6}$
89 P 4 2 2 P 4 2 $P422$ $D_{4}^{1}$
90 P 4 21 2 P 4ab 2ab $P42_{1}2$ $D_{4}^{2}$
91 P 41 2 2 P 4w 2c $P4_{1}22$ $D_{4}^{3}$
92 P 41 21 2 P 4abw 2nw $P4_{1}2_{1}2$ $D_{4}^{4}$
93 P 42 2 2 P 4c 2 $P4_{2}22$ $D_{4}^{5}$
94 P 42 21 2 P 4n 2n $P4_{2}2_{1}2$ $D_{4}^{6}$
95 P 43 2 2 P 4cw 2c $P4_{3}22$ $D_{4}^{7}$
96 P 43 21 2 P 4nw 2abw $P4_{3}2_{1}2$ $D_{4}^{8}$
97 I 4 2 2 I 4 2 $I422$ $D_{4}^{9}$
98 I 41 2 2 I 4bw 2bw $I4_{1}22$ $D_{4}^{10}$
99 P 4 m m P 4 -2 $P4mm$ $C_{4v}^{1}$
100 P 4 b m P 4 -2ab $P4bm$ $C_{4v}^{2}$
101 P 42 c m P 4c -2c $P4_{2}cm$ $C_{4v}^{3}$
102 P 42 n m P 4n -2n $P4_{2}nm$ $C_{4v}^{4}$
103 P 4 c c P 4 -2c $P4cc$ $C_{4v}^{5}$
104 P 4 n c P 4 -2n $P4nc$ $C_{4v}^{6}$
105 P 42 m c P 4c -2 $P4_{2}mc$ $C_{4v}^{7}$
106 P 42 b c P 4c -2ab $P_{2}bc$ $C_{4v}^{8}$
107 I 4 m m I 4 -2 $I4mm$ $C_{4v}^{9}$
108 I 4 c m I 4 -2c $I4cm$ $C_{4v}^{10}$
109 I 41 m d I 4bw -2 $I4_{1}md$ $C_{4v}^{11}$
110 I 41 c d I 4bw -2c $I4_{1}cd$ $C_{4v}^{12}$
111 P -4 2 m P -4 2 $P\overline{4}2m$ $D_{2d}^{1}$
112 P -4 2 c P -4 2c $P\overline{4}2c$ $D_{2d}^{2}$
113 P -4 21 m P -4 2ab $P\overline{4}2_{1}m$ $D_{2d}^{3}$
114 P -4 21 c P -4 2n $P\overline{4}2_{1}c$ $D_{2d}^{4}$
115 P -4 m 2 P -4 -2 $P\overline{4}m2$ $D_{2d}^{5}$
116 P -4 c 2 P -4 -2c $P\overline{4}c2$ $D_{2d}^{6}$
117 P -4 b 2 P -4 -2ab $P\overline{4}b2$ $D_{2d}^{7}$
118 P -4 n 2 P -4 -2n $P\overline{4}n2$ $D_{2d}^{8}$
119 I -4 m 2 I -4 -2 $I\overline{4}m2$ $D_{2d}^{9}$
120 I -4 c 2 I -4 -2c $I\overline{4}c2$ $D_{2d}^{10}$
121 I -4 2 m I -4 2 $I\overline{4}2m$ $D_{2d}^{11}$
122 I -4 2 d I -4 2bw $I\overline{4}2d$ $D_{2d}^{12}$
123 P 4/m 2/m 2/m -P 4 2 $P4/mmm$ $D_{4h}^{1}$
124 P 4/m 2/c 2/c -P 4 2c $P4/mcc$ $D_{4h}^{2}$
125 2 P 4/n 2/b 2/m:2 -P 4a 2b $P4/nbm$ $D_{4h}^{3}$
126 2 P 4/n 2/n 2/c:2 -P 4a 2bc $P4/nnc$ $D_{4h}^{4}$
127 P 4/m 21/b 2/m -P 4 2ab $P4/mbm$ $D_{4h}^{5}$
128 P 4/m 21/n 2/c -P 4 2n $P4/mnc$ $D_{4h}^{6}$
129 2 P 4/n 21/m 2/m:2 -P 4a 2a $P4/nmm$ $D_{4h}^{7}$
130 2 P 4/n 21/c 2/c:2 -P 4a 2ac $P4/ncc$ $D_{4h}^{8}$
131 P 42/m 2/m 2/c -P 4c 2 $P4_{2}/mmc$ $D_{4h}^{9}$
132 P 42/m 2/c 2/m -P 4c 2c $P4_{2}/mcm$ $D_{4h}^{10}$
133 2 P 42/n 2/b 2/c:2 -P 4ac 2b $P4_{2}/nbc$ $D_{4h}^{11}$
134 2 P 42/n 2/n 2/m:2 -P 4ac 2bc $P4_{2}/nnm$ $D_{4h}^{12}$
135 P 42/m 21/b 2/c -P 4c 2ab $P4_{2}/mbc$ $D_{4h}^{13}$
136 P 42/m 21/n 2/m -P 4n 2n $P4_{2}/mnm$ $D_{4h}^{14}$
137 2 P 42/n 21/m 2/c:2 -P 4ac 2a $P4_{2}/nmc$ $D_{4h}^{15}$
138 2 P 42/n 21/c 2/m:2 -P 4ac 2ac $P4_{2}/ncm$ $D_{4h}^{16}$
139 I 4/m 2/m 2/m -I 4 2 $I4/mmm$ $D_{4h}^{17}$
140 I 4/m 2/c 2/m -I 4 2c $I4/mcm$ $D_{4h}^{18}$
141 2 I 41/a 2/m 2/d:2 -I 4bd 2 $I4_{1}/amd$ $D_{4h}^{19}$
142 2 I 41/a 2/c 2/d:2 -I 4bd 2c $I4_{1}/acd$ $D_{4h}^{20}$
143 P 3 P 3 $P3$ $C_{3}^{1}$
144 P 31 P 31 $P3_{1}$ $C_{3}^{2}$
145 P 32 P 32 $P3_{2}$ $C_{3}^{3}$
146 H R 3:H R 3 $R3$ $C_{3}^{4}$
147 P -3 -P 3 $P\overline{3}$ $C_{3i}^{1}$
148 H R -3:H -R 3 $R\overline{3}$ $C_{3i}^{2}$
149 P 3 1 2 P 3 2 $P312$ $D_{3}^{1}$
150 P 3 2 1 P 3 2'' $P321$ $D_{3}^{2}$
151 P 31 1 2 P 31 2c (0 0 1) $P3_{1}12$ $D_{3}^{3}$
152 P 31 2 1 P 31 2'' $P3_{1}21$ $D_{3}^{4}$
153 P 32 1 2 P 32 2c (0 0 -1) $P3_{2}12$ $D_{3}^{5}$
154 P 32 2 1 P 32 2'' $P3_{2}21$ $D_{3}^{6}$
155 H R 32:H R 3 2'' $R32$ $D_{3}^{7}$
156 P 3 m 1 P 3 -2'' $P3m1$ $C_{3v}^{1}$
157 P 3 1 m P 3 -2 $P31m$ $C_{3v}^{2}$
158 P 3 c 1 P 3 -2''c $P3c1$ $C_{3v}^{3}$
159 P 3 1 c P 3 -2c $P31c$ $C_{3v}^{4}$
160 H R 3 m:H R 3 -2'' $R3m$ $C_{3v}^{5}$
161 H R 3 c:H R 3 -2''c $R3c$ $C_{3v}^{6}$
162 P -3 1 2/m -P 3 2 $P\overline{3}1m$ $D_{3d}^{1}$
163 P -3 1 2/c -P 3 2c $P\overline{3}1c$ $D_{3d}^{2}$
164 P -3 2/m 1 -P 3 2'' $P\overline{3}m1$ $D_{3d}^{3}$
165 P -3 2/c 1 -P 3 2''c $P\overline{3}c1$ $D_{3d}^{4}$
166 H R -3 2/m:H -R 3 2'' $R\overline{3}m$ $D_{3d}^{5}$
167 H R -3 2/c:H -R 3 2''c $R\overline{3}c$ $D_{3d}^{6}$
168 P 6 P 6 $P6$ $C_{6}^{1}$
169 P 61 P 61 $P6_{1}$ $C_{6}^{2}$
170 P 65 P 65 $P6_{5}$ $C_{6}^{3}$
171 P 62 P 62 $P6_{2}$ $C_{6}^{4}$
172 P 64 P 64 $P6_{4}$ $C_{6}^{5}$
173 P 63 P 6c $P6_{3}$ $C_{6}^{6}$
174 P -6 P -6 $P\overline{6}$ $C_{3h}^{1}$
175 P 6/m -P 6 $P6/m$ $C_{6h}^{1}$
176 P 63/m -P 6c $P6_{3}/m$ $C_{6h}^{2}$
177 P 6 2 2 P 6 2 $P622$ $D_{6}^{1}$
178 P 61 2 2 P 61 2 (0 0 -1) $P6_{1}22$ $D_{6}^{2}$
179 P 65 2 2 P 65 2 (0 0 1) $P6_{5}22$ $D_{6}^{3}$
180 P 62 2 2 P 62 2c (0 0 1) $P6_{2}22$ $D_{6}^{4}$
181 P 64 2 2 P 64 2c (0 0 -1) $P6_{4}22$ $D_{6}^{5}$
182 P 63 2 2 P 6c 2c $P6_{3}22$ $D_{6}^{6}$
183 P 6 m m P 6 -2 $P6mm$ $C_{6v}^{1}$
184 P 6 c c P 6 -2c $P6cc$ $C_{6v}^{2}$
185 P 63 c m P 6c -2 $P6_{3}cm$ $C_{6v}^{3}$
186 P 63 m c P 6c -2c $P6_{3}mc$ $C_{6v}^{4}$
187 P -6 m 2 P -6 2 $P\overline{6}m2$ $D_{3h}^{1}$
188 P -6 c 2 P -6c 2 $P\overline{6}c2$ $D_{3h}^{2}$
189 P -6 2 m P -6 -2 $P\overline{6}2m$ $D_{3h}^{3}$
190 P -6 2 c P -6c -2c $P\overline{6}2c$ $D_{3h}^{4}$
191 P 6/m 2/m 2/m -P 6 2 $P6/mmm$ $D_{6h}^{1}$
192 P 6/m 2/c 2/c -P 6 2c $P6/mcc$ $D_{6h}^{2}$
193 P 63/m 2/c 2/m -P 6c 2 $P6_{3}/mcm$ $D_{6h}^{3}$
194 P 63/m 2/m 2/c -P 6c 2c $P6_{3}/mmc$ $D_{6h}^{4}$
195 P 2 3 P 2 2 3 $P23$ $T_{}^{1}$
196 F 2 3 F 2 2 3 $F23$ $T_{}^{2}$
197 I 2 3 I 2 2 3 $I23$ $T_{}^{3}$
198 P 21 3 P 2ac 2ab 3 $P2_{1}3$ $T_{}^{4}$
199 I 21 3 I 2b 2c 3 $I2_{1}3$ $T_{}^{5}$
200 P 2/m -3 -P 2 2 3 $Pm\overline{3}$ $T_{h}^{1}$
201 2 P 2/n -3:2 -P 2ab 2bc 3 $Pn\overline{3}$ $T_{h}^{2}$
202 F 2/m -3 -F 2 2 3 $Fm\overline{3}$ $T_{h}^{3}$
203 2 F 2/d -3:2 -F 2uv 2vw 3 $Fd\overline{3}$ $T_{h}^{4}$
204 I 2/m -3 -I 2 2 3 $Im\overline{3}$ $T_{h}^{5}$
205 P 21/a -3 -P 2ac 2ab 3 $Pa\overline{3}$ $T_{h}^{6}$
206 I 21/a -3 -I 2b 2c 3 $Ia\overline{3}$ $T_{h}^{7}$
207 P 4 3 2 P 4 2 3 $P432$ $O^{1}$
208 P 42 3 2 P 4n 2 3 $P4_{2}32$ $O^{2}$
209 F 4 3 2 F 4 2 3 $F432$ $O^{3}$
210 F 41 3 2 F 4d 2 3 $F4_{1}32$ $O^{4}$
211 I 4 3 2 I 4 2 3 $I432$ $O^{5}$
212 P 43 3 2 P 4acd 2ab 3 $P4_{3}32$ $O^{6}$
213 P 41 3 2 P 4bd 2ab 3 $P4_{1}32$ $O^{7}$
214 I 41 3 2 I 4bd 2c 3 $I4_{1}32$ $O^{8}$
215 P -4 3 m P -4 2 3 $P\overline{4}3m$ $T_{d}^{1}$
216 F -4 3 m F -4 2 3 $F\overline{4}3m$ $T_{d}^{2}$
217 I -4 3 m I -4 2 3 $I\overline{4}3m$ $T_{d}^{3}$
218 P -4 3 n P -4n 2 3 $P\overline{4}3n$ $T_{d}^{4}$
219 F -4 3 c F -4c 2 3 $F\overline{4}3c$ $T_{d}^{5}$
220 I -4 3 d I -4bd 2c 3 $I\overline{4}3d$ $T_{d}^{6}$
221 P 4/m -3 2/m -P 4 2 3 $Pm\overline{3}m$ $O_{h}^{1}$
222 2 P 4/n -3 2/n:2 -P 4a 2bc 3 $Pn\overline{3}n$ $O_{h}^{2}$
223 P 42/m -3 2/n -P 4n 2 3 $Pm\overline{3}n$ $O_{h}^{3}$
224 2 P 42/n -3 2/m:2 -P 4bc 2bc 3 $Pn\overline{3}m$ $O_{h}^{4}$
225 F 4/m -3 2/m -F 4 2 3 $Fm\overline{3}m$ $O_{h}^{5}$
226 F 4/m -3 2/c -F 4c 2 3 $Fm\overline{3}c$ $O_{h}^{6}$
227 2 F 41/d -3 2/m:2 -F 4vw 2vw 3 $Fd\overline{3}m$ $O_{h}^{7}$
228 2 F 41/d -3 2/c:2 -F 4cvw 2vw 3 $Fd\overline{3}c$ $O_{h}^{8}$
229 I 4/m -3 2/m -I 4 2 3 $Im\overline{3}m$ $O_{h}^{9}$
230 I 41/a -3 2/d -I 4bd 2c 3 $Ia\overline{3}d$ $O_{h}^{10}$